Wat is consonantie?

In de vorige noot hebben we ontdekt hoe geluid werkt. Laten we deze formule herhalen:

GELUID = AARDE TOON + ALLE MEERDERE OVERTONEN

Bovendien, terwijl de Japanners de kersenbloesem bewonderen, zullen we ook de frequentieresponsgrafiek bewonderen - de amplitude-frequentiekarakteristiek van geluid (Fig. 1):

Bedenk dat de horizontale as de toonhoogte (oscillatiefrequentie) vertegenwoordigt en de verticale as de luidheid (amplitude).

Elke verticale lijn is een harmonische, de eerste harmonische wordt meestal de grondtoon genoemd. Harmonischen zijn als volgt gerangschikt: de tweede harmonische is 2 keer hoger dan de grondtoon, de derde is drie, de vierde is vier, enzovoort.

Kortheidshalve, in plaats van "frequentie" nde harmonische" zullen we gewoon zeggen "nth harmonische”, en in plaats van “fundamentele frequentie” – “geluidsfrequentie”.

Dus, kijkend naar de frequentierespons, zal het voor ons niet moeilijk zijn om de vraag te beantwoorden, wat consonantie is.

Hoe tel je tot oneindig?

Consonance betekent letterlijk “meeklinkend”, gezamenlijk klinkend. Hoe kunnen twee verschillende geluiden samen klinken?

Laten we ze op dezelfde kaart onder elkaar tekenen (Fig. 2):

Hier is het antwoord: sommige harmonischen kunnen in frequentie samenvallen. Het is logisch om aan te nemen dat hoe meer frequenties overeenkomen, hoe meer "gewone" geluiden er zijn, en dus hoe meer consonantie in het geluid van zo'n interval. Om helemaal precies te zijn, is het niet alleen belangrijk het aantal overeenkomende harmonischen, maar welk deel van alle klinkende harmonischen overeenkomt, dat wil zeggen, de verhouding van het aantal overeenkomende tot het totale aantal klinkende harmonischen.

We krijgen de eenvoudigste formule voor het berekenen van consonantie:

WAAR N_sop is het aantal overeenkomende harmonischen,  N_{gemeenschappelijk} is het totale aantal klinkende harmonischen (het aantal verschillende klinkende frequenties), en tegens en is onze gewenste klank. Om wiskundig correct te zijn, is het beter om de hoeveelheid te noemen een maat voor frequentieconsonantie.

Nou, de zaak is klein: je moet berekenen N_sop и N_{gemeenschappelijk}, deel de een door de ander en verkrijg het gewenste resultaat.

Het enige probleem is dat zowel het totale aantal harmonischen als zelfs het aantal bijpassende harmonischen oneindig is.

Wat gebeurt er als we oneindig door oneindig delen?

Laten we de schaal van de vorige grafiek veranderen, "ga weg" ervan (Fig. 3)

We zien dat bijpassende harmonischen steeds weer voorkomen. Het beeld wordt herhaald (Fig. 4).

Deze herhaling zal ons helpen.

Het volstaat voor ons om de verhouding (1) in een van de gestippelde rechthoeken (bijvoorbeeld in de eerste) te berekenen, dan blijft deze verhouding vanwege herhalingen en over de hele lijn hetzelfde.

Voor de eenvoud wordt de frequentie van de grondtoon van het eerste (lagere) geluid als gelijk aan één beschouwd en wordt de frequentie van de grondtoon van het tweede geluid geschreven als een onherleidbare breuk.  .

Laten we tussen haakjes opmerken dat in muzieksystemen in de regel juist geluiden worden gebruikt, waarvan de verhouding van frequenties wordt uitgedrukt door een fractie  . Het interval van een kwint is bijvoorbeeld de verhouding  , kwart gallons -  , triton-   enz.

Laten we de verhouding (1) binnen de eerste rechthoek berekenen (Fig. 4).

Het is vrij eenvoudig om het aantal overeenkomende harmonischen te tellen. Formeel zijn er twee, de ene behoort tot de lagere klank, de tweede - tot de bovenste, in Fig. 4 zijn ze rood gemarkeerd. Maar beide harmonischen klinken respectievelijk op dezelfde frequentie, als we het aantal overeenkomende frequenties tellen, dan zal er maar één zo'n frequentie zijn.

Wat is het totale aantal geluidsfrequenties?

Laten we zo redeneren.

Alle boventonen van het lagere geluid zijn gerangschikt in hele getallen (1, 2, 3, enz.). Zodra een harmonische van het bovenste geluid een geheel getal is, zal het samenvallen met een van de harmonischen van het onderste. Alle harmonischen van het bovenste geluid zijn veelvouden van de grondtoon , dus de frequentie n-de harmonische is gelijk aan:

dat wil zeggen, het zal een geheel getal zijn (sinds m is een geheel getal). Dit betekent dat het bovenste geluid in de rechthoek harmonischen heeft van de eerste (fundamentele toon) tot n-oh, daarom, geluid n frequenties.

Aangezien alle harmonischen van het lagere geluid zich in gehele getallen bevinden, en volgens (3), vindt de eerste coïncidentie plaats op de frequentie m, het blijkt dat het lagere geluid in de rechthoek zal geven m klinkende frequenties.

Opgemerkt moet worden dat de samenvallende frequentie m we telden weer twee keer: toen we de frequenties van het bovenste geluid telden en toen we de frequenties van het lagere geluid telden. Maar in feite is de frequentie één, en voor het juiste antwoord moeten we één "extra" frequentie aftrekken.

Het totaal van alle klinkende frequenties binnen de rechthoek is:

Als we (2) en (4) in formule (1) substitueren, krijgen we een eenvoudige uitdrukking voor het berekenen van de consonantie:

Om de consonantie te benadrukken van welke geluiden we hebben berekend, kun je deze geluiden tussen haakjes aangeven tegens:

Met zo'n eenvoudige formule kun je de consonantie van elk interval berekenen.

En laten we nu eens kijken naar enkele eigenschappen van frequentieconsonantie en voorbeelden van de berekening ervan.

Eigenschappen en voorbeelden

Laten we eerst de consonanties voor de eenvoudigste intervallen berekenen en ervoor zorgen dat formule (6) "werkt".

Welk interval is het eenvoudigst?

Zeker prima. Twee noten klinken in koor. Op een grafiek ziet het er als volgt uit:

We zien dat absoluut alle klinkende frequenties samenvallen. Daarom moet de consonantie gelijk zijn aan:

Laten we nu de verhouding vervangen door de unisono  in formule (6), krijgen we:

De berekening valt samen met het "intuïtieve" antwoord, dat te verwachten is.

Laten we nog een voorbeeld nemen waarin het intuïtieve antwoord net zo duidelijk is: het octaaf.

In een octaaf is het bovenste geluid 2 keer hoger dan het onderste (volgens de frequentie van de grondtoon), respectievelijk in de grafiek ziet het er als volgt uit:

Uit de grafiek blijkt dat elke tweede harmonische samenvalt, en het intuïtieve antwoord is: de consonantie is 50%.

Laten we het berekenen met formule (6):

En nogmaals, de berekende waarde is gelijk aan de "intuïtieve".

Als we de noot als het lagere geluid nemen naar en plot de consonantiewaarde voor alle intervallen binnen het octaaf in de grafiek (eenvoudige intervallen), krijgen we het volgende beeld:

De hoogste maten van consonantie zijn in het octaaf, vijfde en vierde. Ze verwezen historisch naar "perfecte" klanken. De kleine en grote terts, en de kleine en grote sext zijn iets lager, deze intervallen worden beschouwd als "imperfecte" medeklinkers. De overige intervallen hebben een lagere consonantiegraad, traditioneel behoren ze tot de groep van dissonanten.

Nu noemen we enkele eigenschappen van de maat voor frequentieconsonantie, die afkomstig zijn van de formule voor de berekening ervan:

1. Hoe complexer de verhouding  (hoe meer nummer) m и n), hoe minder medeklinker het interval.

И m и n in formule (6) zijn in de noemer, dus als deze getallen toenemen, neemt de maat van consonantie af.

2. De opwaartse consonantie van het interval is gelijk aan de neerwaartse consonantie van het interval.

Om een ​​​​down-interval te krijgen in plaats van een up-interval, hebben we de verhouding nodig:   ruilen m и n. Maar in formule (6) verandert er absoluut niets door zo'n vervanging.

3. De maat van de frequentieconsonantie van een interval hangt niet af van de noot waarop we het bouwen.

Als u beide noten met hetzelfde interval omhoog of omlaag schuift (bijvoorbeeld een kwint bouwen die niet van een noot is) naar, maar uit de notitie D), dan de verhouding  tussen noten zal niet veranderen, en bijgevolg zal de maat van de frequentieconsonantie hetzelfde blijven.

We zouden andere eigenschappen van consonantie kunnen geven, maar voor nu zullen we ons tot deze beperken.

Natuurkunde en teksten

Figuur 7 geeft ons een idee van hoe consonantie werkt. Maar is dit hoe we de consonantie van intervallen echt waarnemen? Zijn er mensen die niet van perfecte klanken houden, maar de meest dissonante harmonieën wel prettig lijken?

Ja, zulke mensen bestaan ​​zeker. En om dit te verklaren, moeten twee concepten worden onderscheiden: fysieke consonantie и waargenomen consonantie.

Alles wat we in dit artikel hebben overwogen, heeft te maken met fysieke consonantie. Om het te berekenen, moet je weten hoe het geluid werkt en hoe verschillende trillingen optellen. Fysieke consonantie biedt de voorwaarden voor waargenomen consonantie, maar bepaalt deze niet voor 100%.

De waargenomen consonantie wordt heel eenvoudig bepaald. Een persoon wordt gevraagd of hij van deze consonantie houdt. Zo ja, dan is het voor hem consonantie; zo niet, dan is het dissonantie. Als hem twee intervallen ter vergelijking worden gegeven, kunnen we zeggen dat de ene persoon op dit moment meer consonant zal lijken, de andere minder.

Kan waargenomen consonantie worden berekend? Zelfs als we aannemen dat het mogelijk is, dan zal deze berekening catastrofaal ingewikkeld zijn, het zal nog een oneindigheid bevatten - de oneindigheid van een persoon: zijn ervaring, gehoorkenmerken en hersencapaciteiten. Deze oneindigheid is niet zo gemakkelijk om mee om te gaan.

Onderzoek op dit gebied is echter gaande. Met name de componist Ivan Soshinsky, die zo vriendelijk is om audiomateriaal voor deze noten te leveren, heeft een programma ontwikkeld waarmee je een individuele kaart kunt maken van de perceptie van klanken voor elke persoon. De site mu-theory.info wordt momenteel ontwikkeld, waar iedereen kan worden getest en de kenmerken van zijn gehoor kan ontdekken.

En toch, als er een waargenomen consonantie is en deze verschilt van de fysieke, wat heeft het dan voor zin om de laatste te berekenen? We kunnen deze vraag op een meer constructieve manier herformuleren: hoe verhouden deze twee concepten zich tot elkaar?

Studies tonen aan dat de correlatie tussen de gemiddelde waargenomen consonantie en fysieke consonantie in de orde van 80% is. Dit betekent dat elke persoon zijn eigen individuele kenmerken kan hebben, maar de fysica van geluid levert een overweldigende bijdrage aan de definitie van consonantie.

Natuurlijk staat het wetenschappelijk onderzoek op dit gebied nog in de kinderschoenen. En als geluidsstructuur namen we een relatief eenvoudig model van meerdere harmonischen, en de berekening van consonantie werd de eenvoudigste gebruikt - frequentie, en hield geen rekening met de eigenaardigheden van de hersenactiviteit bij het verwerken van het geluidssignaal. Maar het feit dat zelfs binnen het kader van dergelijke vereenvoudigingen een zeer hoge mate van correlatie tussen theorie en experiment is bereikt, is zeer bemoedigend en stimuleert verder onderzoek.

De toepassing van de wetenschappelijke methode op het gebied van muzikale harmonie beperkt zich niet tot het berekenen van consonantie, het levert ook interessantere resultaten op.

Met behulp van de wetenschappelijke methode kan bijvoorbeeld muzikale harmonie grafisch worden weergegeven, gevisualiseerd. We zullen het de volgende keer hebben over hoe we dit kunnen doen.

Auteur – Roman Oleinikov